El conjunto de Mandelbrot

Este viernes retomo la dinámica de semanas anteriores y vuelvo a hablar sobre matemáticas de andar por casa. Hoy abordaremos el conjunto de Mandelbrot como caso particular de estructura fractal, de sus propiedades y si la existencia de este tipo de entidades son un descubrimiento de la realidad o es una invención de nuestras mentes.

El conjunto de Mandelbrot, como buen conjunto, es una colección de entidades que no se repiten. En este caso los miembros del conjunto son números complejos. A su vez, un número complejo puede verse como una extensión sobre los números reales. Si estos últimos pueden representarse, por así decirlo, con un único número (por ejemplo, 2.2345), los números complejos tienen una componente adicional, la parte imaginaria, que es denotada por la letra i. Por lo tanto, un número complejo se representa mediante dos "números", como puede ser 2.2345 + 2.8i. En este caso puede verse que el primer número es la parte real del número complejo y la segunda es (la que se multiplica por i) la imaginaria. En general, dado que se necesitan dos componentes para representar un número complejo, podemos verlos como puntos en el plano. El caso anterior sería un punto con coordenadas (2.2345, 2.8).

Introducido esto, podemos olvidarnos de los números complejos y razonar con ellos como si fueran puntos en el plano (este plano recibe el nombre de plano de Argand).

Pues señoritos y señoritas, la expresión anterior es el corazón del conjunto de Mandelbrot. ¿Pero no habías dicho que un conjunto era una colección de elementos? Efectivamente, pero esa colección se puede expresar de varias formas. Una definción es extensional cuando explícitamente se dicen los elementos que forman parte del conjunto. Por ejemplo: el conjunto de las provincias de la Comunidad Valenciana definido extensionalmente sería: {Alicante, Valencia, Castellón}. Sin embargo, un conjunto puede definirse de manera intensional cuando proporcionamos los medios para determinar si un elemento pertenece o no al conjunto. Por ejemplo: PAR es el conjunto de los números pares. Sabemos cuando un número es par (cuando el resto tras dividirlo entre 2 es cero) por lo que podemos comprobar para todos los elementos (en este caso números) si son pares. Por lo general las definiciones extensionales se suelen dar para conjuntos finitos y pequeños y las intensionales constituyen la única manera de definir conjuntos infinitos en su totalidad.

El conjunto de Mandelbrot, a partir de ahora lo denotaremos como M, se construye mediante las relaciones expuestas en la fórmula anterior. Básicamente c pertenece a M si tras aplicar la fórmula anterior el valor del z_i correspondiente no tiende a infinito. Habrá valores que tomen muy rápidamente un valor muy grande. Otros, por el contrario, tardaran más. En cualquier caso, es posible saber si un c dado está o no dentro de M. Aún a sabiendas de que cada ecuación disminuye las visitas de la entrada a la mitad, mostraré un breve ejemplo de cómo se calculan los cuatro primeros elementos del conjunto de Mandelbrot.

Si al cabo de un tiempo alguno  z_i crece demasiado y se escapa al infinito, entonces el c empleado no pertenece a M. Dado que c puede verse como un punto en dos dimensiones, puede pintarse. Los puntos que no se van al infinito, es decir los miembros, se pintan de color negro y los que sí se alejan, se pintan de color blanco.

Conjunto de Mandelbrot, extraído de [1]

Antes de continuar, tal vez el lector haya visto este mismo diagrama pero en color. El color indica, para los puntos de la frontera, lo rápido que transforman en infinito, aquí por simplicidad sólo nos quedaremos con aquellos valores de c para los cuales ese fenómeno no se presenta.

De manera descriptiva podemos observar una serie de regiones, el gran cuerpo de la derecha, otro menor a la izquierda y dos verrugas idénticas, situadas arriba y abajo del cuerpo central. A su vez, si ampliáis la imagen, las regiones se parecen a distintas escala.

Este fenómeno mediante el cual unas regiones a una escala determinada se parecen a otras con otra escala diferente se conoce como autosimilitud, que puede ser total, cuando se hace zoom y la región ampliada es idéntica a la apreciada antes del aumento, o parcial, cuando la región se parece pero no es idéntica.

La autosimilitud del conjunto de Mandelbrot es parcial y puede verse (esta vez en color, que mola más) en el video que viene a continuación.

Después de este viaje psicodélico, creo que ya se tiene una visión, al menos intuitiva, de lo que es un fractal: un conjunto que se calcula mediante unas reglas concretas y que exhibe propiedades de autosmilitud a distintas escala y con distinto grado.

El conjunto de Mandelbrot no es ni de lejos el el único fractal conocido. A continuación puede verse el copo de nieve de Koch.

Copo de nieve de Koch a distintas escalas. Extraído de [2]

En este caso la autosimilitud es total. Lo que se ve en la animación superior es el refinamiento de la la figura, al igual que se veía en el vídeo anterior para el conjunto M. El parecido a un copo de nieve es evidente, pero no es ni de lejos el único fractal que encontramos en la naturaleza. A continuación pueden apreciarse un par de ejemplos:

Romanescu

Copo de nieve

Las imágenes anteriores exhiben una estructura fractal. La primera es una verdura, el Romanescu, y la segunda un copo de nieve. Por supuesto, esto es el mundo real y no podemos esperar que el grado de autosimilitud se repita ad infinitum, sino que debemos conformarnos con las limitaciones que la naturaleza  impone a los procesos que originan estas estructuras. Otros ejemplos en la naturaleza pueden ser las nervaduras de las hojas o las conexiones entre ríos y sus afluentes. Para más información sobre los fractales en la naturaleza véase [3].

Me gustaría terminar esta entrada con una pequeña reflexión. Hemos visto cómo una expresión relativamente sencilla puede producir detalles inimaginablemente complejos y bellos. En este caso, dudo mucho de que el ser humano sea capaz de inventar la expresión sino que más bien se trata de un descubrimiento. El conjunto de Mandelbrot y muchas otras expresiones matemáticas, opino que tienen una existencia, como si de ideas platónicas se trataran, paralela a la realidad que nosotros percibimos. De vez en cuando alguien efectúa el descubrimiento y sólo entonces somos capaces de conocer esta realidad. Con esto no quiero decir que todos los resultados en matemáticas sean bellas ideas platónicas, ya que en muchos casos las matemáticas se emplean puramente como herramientas, introduciendo a nuestra voluntad elementos extraños que si bien son coherentes, no originan un descubrimiento, sino una invención por nuestra parte.

Pepe "Puertas de Acero" Pérez

[1] http://cp4space.wordpress.com/2012/09/09/big-mandelbrots/
[2] http://es.wikipedia.org/wiki/Copo_de_nieve_de_Koch
[3] http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal#Natural_phenomena_with_fractal_features
[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Mandelbrot_set